giovedì 13 agosto 2015

Lotto e superenalotto ... giocare per vincere?!

Una domanda Una riposta: Qual è la probabilità di fare una cinquina al lotto? e un sei al superenalotto?

Calcoliamo, preliminarmente, il  numero delle possibili cinquine*.
In ogni ruota vi sono 90 numeri e quindi 90 possibili estrazioni distinte del primo numero. Il primo estratto non è reinserito nel bussolotto, dunque il secondo estratto è scelto tra 89 modi possibili. Ne consegue che i primi due estratti possono essere scelti in 90
´ 89 modi distinti. Per il terzo, il quarto e il quinto restano rispettivamente 88, 87, 86 distinte possibilità; quindi il numero complessivo delle possibili estrazioni è: 

                       90 ´ 89 ´ 88 ´ 87´ 86 = 5.273.912.160.

Ma l’ordine di estrazione non conta! Infatti, i gruppi di numeri {4, 36, 45, 57, 89} e {36, 4, 89, 57, 45} generano la stessa cinquina. Pertanto il numero delle possibili cinquine è dato: 
5.273.912.160 diviso il numero delle possibili permutazioni
dei cinque numeri estratti (che sono 120)
 cioè:

          5.273.912.160          diviso        120   =   43. 949.268

Di conseguenza, la probabilità di fare una cinquina al Lotto é:

p = 1 / 43949268          
          
Analogamente si prova che la  probabilità di vincere un 6** al SuperEnalotto è: 

 p = 1 / 622614630   


Le probabilità delle altre giocate al Lotto e al SuperEnalotto (su 6 numeri giocati ), il cui calcolo è relativamente più difficile, sono riportate nelle tabelle 1 e 2. 


Se il primo estratto di una ruota sia un numero uguale al primo estratto di una ruota che in ordine alfabetico la precede, ai fini della determinazione dei numeri vincenti, viene preso in considerazione il secondo numero estratto; se anche il secondo estratto sia un numero uguale al primo estratto di altra ruota che precede, viene preso in considerazione il terzo numero estratto, e così via. La medesima procedura si applica anche nei confronti del numero complementare. Qualora non sia possibile determinare una combinazione vincente di prima categoria con punti 6 o di seconda categoria, con punti 5 più il numero complementare, perché nelle sei ruote utili per l’individuazione del pronostico vengono estratti numeri uguali o per qualsiasi altro motivo, si applica la disposizione prevista al terzo comma dell’art. 14.
Vediamo dunque quali casi strani possono capitare sulle 6 ruote in questione: BA, FI, MI NA, PA, Roma.

Primo caso:
Sulla Ruota di Bari escono i numeri 1, 2, 3, 4, 5. E guarda caso sulle ruote successive FI, MI, NA, PA, Roma escono proprio gli stessi numeri di Bari nello stesso ordine.
In questo caso la sestina vincente non si può formare: infatti si può prendere il primo estratto di Bari (1), il secondo estratto di FI (2), ili terzo di MI (3), il quarto di NA (4) il quinto di PA (5), ma nessun numero di Roma essendo tutti e cinque i numeri estratti a Roma già presi.

Secondo caso: può capitare che i numeri che escono su Bari si ripresentano in ordine diverso su tu le altre ruote. Questo caso è però equivalente al primo.
In definitiva il problema è che la sestina in taluni casi non si forma e quindi bisogna sottrarre questi casi da tutti i casi possibili, il che equivale dal punto di vista della probabilità a richiedere contemporaneamente che la sestina si formi e che escano i nostri 6 numeri giocati.
Ma quanti sono i casi in cui la sestina non si forma? Ossia quante sono tutte le sestine possibili in base al suddetto Regolamento?
Sestine possibili = 622614630 - 43. 949.268 (il numero di casi in cui la sestina non si forma, cioè la cinquina) = 578665362
Quindi la probabilità di fare il 6 è 1/578665362
Per il teorema del prodotto delle probabilità bisogna dunque fare il seguente calcolo:

 p(di fare il 6) = p(si forma la sestina) ´ p(di azzeccare i 6 numeri estratti)


Nota - La questione è stata risolta con l'introduzione di una ruota specifica per il superenalotto.





Nota Matematica riferita al gioco ideale del Lotto.

La probabilità di indovinare un estratto semplice, un ambo, un terno, una quaterna, una cinquina (giocando al Lotto 1 solo numero, 1 sola coppia, 1 solo terno, 1 sola quaterna, 1 sola cinquina rispettivamente) si può calcolare con la seguente formula:  

ove per m = 1 si calcola la probabilità dell’estratto semplice, con m = 2 quella dell’ambo, con m = 3 quella del terno, con m = 4 quella della quaterna, m = 5 quella della cinquina.
Nella formula il simbolo indica il prodotto di tutti i numeri interi minori o uguali ad n.
Ad esempio :


5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120      90! =  90 x 89 x 88 x 87 x ... x 4 x 3 x 2 x 1= ...

ACQUISTA


--------
*Le considerazioni svolte si riferiscono al modello matematico del gioco del Lotto.

** Per la verità, il calcolo proposto non tiene conto del fatto che in taluni casi il 6 al superenalotto, a causa della modalità di estrazione, non possa verificarsi. In base a questa ulteriore considerazione, la probabilità di sortita del 6 è un po' diversa rispetto a quella presentata ed è p(6) = 1/578665362 Vedi Appendice

lunedì 16 febbraio 2015






Prendere il gioco per semplice gioco e l’attività troppo attivamente dimostra quanto entrambi poco sono capiti profondamente.
Piet Hein

Da che l’uommene s’aunettono nzieme e formajeno commomella, accomenzajeno ad ammentare diverze juoche e ntra chiste nce fujeno purzì chille d’azzardo.
Chitarrella
Il gioco è un principio inerente alla natura umana. Esso riguarda tutti.Burke
Prima di tutto, il gioco.
 E. Colombo

Tra il gioco e gli affari scegli il gioco: potresti anche vincere.L. Infanti


Giocate per giocare! Ricordate: per essere dei buoni giocatori bisogna avere la capacità di fare buone previsioni, un piano di gioco adeguato, costanza e capitale. G.D. Broccoli